MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
O companie transportă marfă cu trei tipuri de vehicule: camioane, furgonete și motociclete. Capacitățile de încărcare (în tone) sunt date de vectorul C=(520.5)C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0.5 \end{pmatrix}. Numărul de vehicule de fiecare tip este necunoscut și notat cu n1n_1, n2n_2, n3n_3. Compania trebuie să transporte 100 de tone de marfă, iar costul total al transportului este dat de ecuația 3n1+2n2+n3=1203n_1 + 2n_2 + n_3 = 120 (în mii de lei). În plus, numărul de camioane este dublul numărului de furgonete. Să se determine numărul de vehicule de fiecare tip folosind matricea inversă a sistemului de ecuații.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului de ecuații liniare în formă matriceală A⋅x=bA \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}, unde A=(520.53211−20)A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0.5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}, x=(n1n2n3)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}, b=(1001200)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \\ 0 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculul determinantului det⁡(A)=8\det(A) = 8 și verificarea că matricea este inversabilă.
33 puncte
Determinarea matricei inverse A−1=18(2−11−10.5−2.5−8124)A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0.5 & -2.5 \\ -8 & 12 & 4 \end{pmatrix} sau aplicarea regulii lui Cramer pentru a găsi n1=10n_1 = 10, n2=5n_2 = 5, n3=20n_3 = 20.
42 puncte
Interpretarea: sunt necesare 10 camioane, 5 furgonete și 20 motociclete pentru a satisface condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.