MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
O fabrică produce trei tipuri de piese: A, B și C. Pentru fiecare piesă A se consumă 2 ore de muncă, 3 kg de material și 1 unitate de energie. Pentru piesă B: 1 oră, 2 kg, 2 unități. Pentru piesă C: 3 ore, 1 kg, 3 unități. Într-o săptămână, fabrica are disponibile 100 ore de muncă, 120 kg de material și 90 unități de energie. Dacă xx, yy, zz sunt numărul de piese A, B, C produse, scrieți sistemul de ecuații liniare care exprimă utilizarea resurselor. Apoi, scrieți sistemul sub formă matricială AX=BAX = B, unde X=[x,y,z]TX = [x, y, z]^T. Calculați determinantul matricei AA și discutați existența soluției pentru a satisface exact resursele disponibile. Dacă determinantul este nenul, găsiți soluția XX folosind metoda matricei inverse sau regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Sistemul de ecuații este: 2x+y+3z=1002x + y + 3z = 100 (ore de muncă), 3x+2y+z=1203x + 2y + z = 120 (kg de material), x+2y+3z=90x + 2y + 3z = 90 (unități de energie).
22 puncte
Forma matricială: A=(213321123)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(10012090)B = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \\ 90 \end{pmatrix}, deci AX=BAX = B.
32 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=2⋅(2⋅3−1⋅2)−1⋅(3⋅3−1⋅1)+3⋅(3⋅2−2⋅1)=2⋅(6−2)−1⋅(9−1)+3⋅(6−2)=2⋅4−1⋅8+3⋅4=8−8+12=12\det(A) = 2 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (3 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 2 \cdot (6-2) - 1 \cdot (9-1) + 3 \cdot (6-2) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 8 + 3 \cdot 4 = 8 - 8 + 12 = 12.
42 puncte
Deoarece det⁡(A)=12≠0\det(A) = 12 \neq 0, matricea AA este inversabilă, deci sistemul are soluție unică. Aceasta înseamnă că există o combinație unică de piese care consumă exact resursele disponibile.
52 puncte
Folosind regula lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, unde Ax=(10013120219023)A_x = \begin{pmatrix} 100 & 1 & 3 \\ 120 & 2 & 1 \\ 90 & 2 & 3 \end{pmatrix}. det⁡(Ax)=100⋅(2⋅3−1⋅2)−1⋅(120⋅3−1⋅90)+3⋅(120⋅2−2⋅90)=100⋅(6−2)−1⋅(360−90)+3⋅(240−180)=100⋅4−1⋅270+3⋅60=400−270+180=310\det(A_x) = 100 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (120 \cdot 3 - 1 \cdot 90) + 3 \cdot (120 \cdot 2 - 2 \cdot 90) = 100 \cdot (6-2) - 1 \cdot (360-90) + 3 \cdot (240-180) = 100 \cdot 4 - 1 \cdot 270 + 3 \cdot 60 = 400 - 270 + 180 = 310, deci x=31012=1556≈25.83x = \frac{310}{12} = \frac{155}{6} \approx 25.83. Similar, y=det⁡(Ay)det⁡(A)y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} cu Ay=(21003312011903)A_y = \begin{pmatrix} 2 & 100 & 3 \\ 3 & 120 & 1 \\ 1 & 90 & 3 \end{pmatrix}, det⁡(Ay)=2⋅(120⋅3−1⋅90)−100⋅(3⋅3−1⋅1)+3⋅(3⋅90−120⋅1)=2⋅(360−90)−100⋅(9−1)+3⋅(270−120)=2⋅270−100⋅8+3⋅150=540−800+450=190\det(A_y) = 2 \cdot (120 \cdot 3 - 1 \cdot 90) - 100 \cdot (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (3 \cdot 90 - 120 \cdot 1) = 2 \cdot (360-90) - 100 \cdot (9-1) + 3 \cdot (270-120) = 2 \cdot 270 - 100 \cdot 8 + 3 \cdot 150 = 540 - 800 + 450 = 190, deci y=19012=956≈15.83y = \frac{190}{12} = \frac{95}{6} \approx 15.83. z=det⁡(Az)det⁡(A)z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} cu Az=(21100321201290)A_z = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 100 \\ 3 & 2 & 120 \\ 1 & 2 & 90 \end{pmatrix}, det⁡(Az)=2⋅(2⋅90−120⋅2)−1⋅(3⋅90−120⋅1)+100⋅(3⋅2−2⋅1)=2⋅(180−240)−1⋅(270−120)+100⋅(6−2)=2⋅(−60)−1⋅150+100⋅4=−120−150+400=130\det(A_z) = 2 \cdot (2 \cdot 90 - 120 \cdot 2) - 1 \cdot (3 \cdot 90 - 120 \cdot 1) + 100 \cdot (3 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 2 \cdot (180-240) - 1 \cdot (270-120) + 100 \cdot (6-2) = 2 \cdot (-60) - 1 \cdot 150 + 100 \cdot 4 = -120 - 150 + 400 = 130, deci z=13012=656≈10.83z = \frac{130}{12} = \frac{65}{6} \approx 10.83. Soluția este X=(1556956656)X = \begin{pmatrix} \frac{155}{6} \\ \frac{95}{6} \\ \frac{65}{6} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.