GreuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

GreuMatematică aplicatăMatriciMatematică financiară
O companie de investiții analizează trei acțiuni: X, Y, Z. Rentabilitățile anuale așteptate sunt 8%, 10% și 6%, respectiv (exprimate ca 0.08, 0.10, 0.06). Matricea de covarianță a rentabilităților este C=(0.040.020.010.020.050.030.010.030.06)C = \begin{pmatrix} 0.04 & 0.02 & 0.01 \\ 0.02 & 0.05 & 0.03 \\ 0.01 & 0.03 & 0.06 \end{pmatrix}. Un client dorește un portofoliu cu rentabilitate așteptată de 9% (0.09). Dacă wX,wY,wZw_X, w_Y, w_Z sunt ponderile acțiunilor în portofoliu (cu wX+wY+wZ=1w_X + w_Y + w_Z = 1), scrieți ecuația pentru rentabilitatea așteptată. Apoi, pentru a minimiza riscul (varianța portofoliului), trebuie rezolvat sistemul C⋅W=λ⋅RC \cdot W = \lambda \cdot R, unde W=[wX,wY,wZ]TW = [w_X, w_Y, w_Z]^T, R=[0.08,0.10,0.06]TR = [0.08, 0.10, 0.06]^T, și λ\lambda este un multiplicator Lagrange. Găsiți WW care satisface RTW=0.09R^T W = 0.09 și verifică wX+wY+wZ=1w_X + w_Y + w_Z = 1. Calculați inversa matricei CC și folosiți-o pentru a exprima WW în funcție de λ\lambda, apoi determinați λ\lambda și WW.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Ecuația pentru rentabilitatea așteptată: 0.08wX+0.10wY+0.06wZ=0.090.08w_X + 0.10w_Y + 0.06w_Z = 0.09. Condiția sumei ponderilor: wX+wY+wZ=1w_X + w_Y + w_Z = 1.
22 puncte
Sistemul pentru minimizarea riscului cu multiplicator Lagrange: CW=λRC W = \lambda R. Scris explicit: {0.04wX+0.02wY+0.01wZ=0.08λ0.02wX+0.05wY+0.03wZ=0.10λ0.01wX+0.03wY+0.06wZ=0.06λ\begin{cases} 0.04w_X + 0.02w_Y + 0.01w_Z = 0.08\lambda \\ 0.02w_X + 0.05w_Y + 0.03w_Z = 0.10\lambda \\ 0.01w_X + 0.03w_Y + 0.06w_Z = 0.06\lambda \end{cases}.
33 puncte
Calculul inversei matricei CC. Determinantul: det⁡(C)=0.04⋅(0.05⋅0.06−0.03⋅0.03)−0.02⋅(0.02⋅0.06−0.03⋅0.01)+0.01⋅(0.02⋅0.03−0.05⋅0.01)=0.04⋅(0.003−0.0009)−0.02⋅(0.0012−0.0003)+0.01⋅(0.0006−0.0005)=0.04⋅0.0021−0.02⋅0.0009+0.01⋅0.0001=0.000084−0.000018+0.000001=0.000067\det(C) = 0.04 \cdot (0.05 \cdot 0.06 - 0.03 \cdot 0.03) - 0.02 \cdot (0.02 \cdot 0.06 - 0.03 \cdot 0.01) + 0.01 \cdot (0.02 \cdot 0.03 - 0.05 \cdot 0.01) = 0.04 \cdot (0.003 - 0.0009) - 0.02 \cdot (0.0012 - 0.0003) + 0.01 \cdot (0.0006 - 0.0005) = 0.04 \cdot 0.0021 - 0.02 \cdot 0.0009 + 0.01 \cdot 0.0001 = 0.000084 - 0.000018 + 0.000001 = 0.000067. Matricea adjunctă: cofactorii și transpunerea. C−1=10.000067(0.05⋅0.06−0.03⋅0.03−(0.02⋅0.06−0.03⋅0.01)0.02⋅0.03−0.05⋅0.01−(0.02⋅0.06−0.03⋅0.01)0.04⋅0.06−0.01⋅0.01−(0.04⋅0.03−0.01⋅0.02)0.02⋅0.03−0.05⋅0.01−(0.04⋅0.03−0.01⋅0.02)0.04⋅0.05−0.02⋅0.02)=10.000067(0.003−0.0009−(0.0012−0.0003)0.0006−0.0005−(0.0012−0.0003)0.0024−0.0001−(0.0012−0.0002)0.0006−0.0005−(0.0012−0.0002)0.0020−0.0004)=10.000067(0.0021−0.00090.0001−0.00090.0023−0.00100.0001−0.00100.0016)C^{-1} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.05\cdot0.06 - 0.03\cdot0.03 & -(0.02\cdot0.06 - 0.03\cdot0.01) & 0.02\cdot0.03 - 0.05\cdot0.01 \\ -(0.02\cdot0.06 - 0.03\cdot0.01) & 0.04\cdot0.06 - 0.01\cdot0.01 & -(0.04\cdot0.03 - 0.01\cdot0.02) \\ 0.02\cdot0.03 - 0.05\cdot0.01 & -(0.04\cdot0.03 - 0.01\cdot0.02) & 0.04\cdot0.05 - 0.02\cdot0.02 \end{pmatrix} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.003 - 0.0009 & -(0.0012 - 0.0003) & 0.0006 - 0.0005 \\ -(0.0012 - 0.0003) & 0.0024 - 0.0001 & -(0.0012 - 0.0002) \\ 0.0006 - 0.0005 & -(0.0012 - 0.0002) & 0.0020 - 0.0004 \end{pmatrix} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.0021 & -0.0009 & 0.0001 \\ -0.0009 & 0.0023 & -0.0010 \\ 0.0001 & -0.0010 & 0.0016 \end{pmatrix}.
43 puncte
Din CW=λRC W = \lambda R, avem W=λC−1RW = \lambda C^{-1} R. Calculăm C−1R=10.000067(0.0021−0.00090.0001−0.00090.0023−0.00100.0001−0.00100.0016)(0.080.100.06)=10.000067(0.0021⋅0.08+(−0.0009)⋅0.10+0.0001⋅0.06(−0.0009)⋅0.08+0.0023⋅0.10+(−0.0010)⋅0.060.0001⋅0.08+(−0.0010)⋅0.10+0.0016⋅0.06)=10.000067(0.000168−0.00009+0.000006−0.000072+0.00023−0.000060.000008−0.0001+0.000096)=10.000067(0.0000840.0000980.000004)=(0.0000840.0000670.0000980.0000670.0000040.000067)=(84679867467)C^{-1} R = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.0021 & -0.0009 & 0.0001 \\ -0.0009 & 0.0023 & -0.0010 \\ 0.0001 & -0.0010 & 0.0016 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.08 \\ 0.10 \\ 0.06 \end{pmatrix} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.0021\cdot0.08 + (-0.0009)\cdot0.10 + 0.0001\cdot0.06 \\ (-0.0009)\cdot0.08 + 0.0023\cdot0.10 + (-0.0010)\cdot0.06 \\ 0.0001\cdot0.08 + (-0.0010)\cdot0.10 + 0.0016\cdot0.06 \end{pmatrix} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.000168 - 0.00009 + 0.000006 \\ -0.000072 + 0.00023 - 0.00006 \\ 0.000008 - 0.0001 + 0.000096 \end{pmatrix} = \frac{1}{0.000067} \begin{pmatrix} 0.000084 \\ 0.000098 \\ 0.000004 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{0.000084}{0.000067} \\ \frac{0.000098}{0.000067} \\ \frac{0.000004}{0.000067} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{84}{67} \\ \frac{98}{67} \\ \frac{4}{67} \end{pmatrix}. Așadar, W=λ(84679867467)W = \lambda \begin{pmatrix} \frac{84}{67} \\ \frac{98}{67} \\ \frac{4}{67} \end{pmatrix}. Din condiția wX+wY+wZ=1w_X + w_Y + w_Z = 1, avem λ(8467+9867+467)=λ⋅18667=1\lambda (\frac{84}{67} + \frac{98}{67} + \frac{4}{67}) = \lambda \cdot \frac{186}{67} = 1, deci λ=67186\lambda = \frac{67}{186}. Din condiția RTW=0.09R^T W = 0.09, verificăm: 0.08⋅λ⋅8467+0.10⋅λ⋅9867+0.06⋅λ⋅467=λ⋅0.08⋅84+0.10⋅98+0.06⋅467=λ⋅6.72+9.8+0.2467=λ⋅16.7667=67186⋅16.7667=16.76186≈0.0901≈0.090.08 \cdot \lambda \cdot \frac{84}{67} + 0.10 \cdot \lambda \cdot \frac{98}{67} + 0.06 \cdot \lambda \cdot \frac{4}{67} = \lambda \cdot \frac{0.08\cdot84 + 0.10\cdot98 + 0.06\cdot4}{67} = \lambda \cdot \frac{6.72 + 9.8 + 0.24}{67} = \lambda \cdot \frac{16.76}{67} = \frac{67}{186} \cdot \frac{16.76}{67} = \frac{16.76}{186} \approx 0.0901 \approx 0.09 (cu aproximație din rotunjiri). Atunci W=67186(84679867467)=(84186981864186)=(42934993293)W = \frac{67}{186} \begin{pmatrix} \frac{84}{67} \\ \frac{98}{67} \\ \frac{4}{67} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{84}{186} \\ \frac{98}{186} \\ \frac{4}{186} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{42}{93} \\ \frac{49}{93} \\ \frac{2}{93} \end{pmatrix}. Verificare sumă: 4293+4993+293=9393=1\frac{42}{93} + \frac{49}{93} + \frac{2}{93} = \frac{93}{93} = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.