MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorArii și volume
Un rezervor cilindric deschis la partea superioară trebuie să aibă volumul de 100 m3100\, \text{m}^3. Costul materialului pentru baza este de 1515 lei/\text{m}2^2, iar pentru pereți de 1010 lei/\text{m}2^2. Determinați raza și înălțimea rezervorului care minimizează costul total.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrie formula volumului cilindrului: V=πr2h=100V = \pi r^2 h = 100, deci h=100πr2h = \frac{100}{\pi r^2}.
22 puncte
Scrie funcția costului total: C(r)=15⋅πr2+10⋅2πrhC(r) = 15 \cdot \pi r^2 + 10 \cdot 2\pi r h (baza și suprafața laterală).
32 puncte
Înlocuiește hh în funcția costului: C(r)=15πr2+20πr⋅100πr2=15πr2+2000rC(r) = 15\pi r^2 + 20\pi r \cdot \frac{100}{\pi r^2} = 15\pi r^2 + \frac{2000}{r}.
42 puncte
Calculează derivata: C′(r)=30πr−2000r2C'(r) = 30\pi r - \frac{2000}{r^2}.
51 punct
Setează C′(r)=0C'(r) = 0 și rezolvă: 30πr=2000r2⇒r3=200030π=2003π⇒r=2003π3≈21.223≈2.77 m30\pi r = \frac{2000}{r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{2000}{30\pi} = \frac{200}{3\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{200}{3\pi}} \approx \sqrt[3]{21.22} \approx 2.77\, \text{m}.
61 punct
Calculează hh: h=100π×(2.77)2≈10024.12≈4.15 mh = \frac{100}{\pi \times (2.77)^2} \approx \frac{100}{24.12} \approx 4.15\, \text{m}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.