MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Costul total de producție pentru o firmă este modelat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+15x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 15x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Determinați numărul de unități care minimizează costul marginal și calculați acest cost marginal minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Costul marginal este derivata funcției cost total: C′(x)=ddxC(x)C'(x) = \frac{d}{dx}C(x).
23 puncte
Calculați derivata: C′(x)=0.03x2−1.2x+15C'(x) = 0.03x^2 - 1.2x + 15.
32 puncte
Funcția C′(x)C'(x) este o parabolă cu ramurile în sus (coeficientul lui x2x^2 pozitiv), deci minimul se află la vârf. Coordonata xx a vârfului este x=−b2a=−−1.22⋅0.03=1.20.06=20x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1.2}{2 \cdot 0.03} = \frac{1.2}{0.06} = 20.
42 puncte
Calculați costul marginal minim: C′(20)=0.03⋅202−1.2⋅20+15=0.03⋅400−24+15=12−24+15=3C'(20) = 0.03 \cdot 20^2 - 1.2 \cdot 20 + 15 = 0.03 \cdot 400 - 24 + 15 = 12 - 24 + 15 = 3.
51 punct
Interpretare: Costul marginal este minim atunci când se produc 20 de unități, iar valoarea minimă este 3 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.