MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.3x2+5x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.3x^2 + 5x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=20−0.1xp(x) = 20 - 0.1x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem funcția profit: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(20−0.1x)−(0.01x3−0.3x2+5x+100)=−0.01x3+0.2x2+15x−100P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(20 - 0.1x) - (0.01x^3 - 0.3x^2 + 5x + 100) = -0.01x^3 + 0.2x^2 + 15x - 100.
23 puncte
Derivăm funcția profit: P′(x)=−0.03x2+0.4x+15P'(x) = -0.03x^2 + 0.4x + 15. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: −0.03x2+0.4x+15=0⇒3x2−40x−1500=0-0.03x^2 + 0.4x + 15 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 40x - 1500 = 0. Discriminantul este Δ=1600+18000=19600\Delta = 1600 + 18000 = 19600, deci x=40±1406x = \frac{40 \pm 140}{6}. Obținem x=30x=30 (valoarea pozitivă).
32 puncte
Verificăm că este maxim: calculăm P′′(x)=−0.06x+0.4P''(x) = -0.06x + 0.4. Pentru x=30x=30, P′′(30)=−1.8+0.4=−1.4<0P''(30) = -1.8 + 0.4 = -1.4 < 0, deci este punct de maxim.
43 puncte
Calculăm profitul maxim: P(30)=−0.01(30)3+0.2(30)2+15(30)−100=−270+180+450−100=260P(30) = -0.01(30)^3 + 0.2(30)^2 + 15(30) - 100 = -270 + 180 + 450 - 100 = 260. Profitul maxim este 260.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.