MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O cutie fără capac are baza pătrată și volumul de 32 m³. Materialul pentru baza costă 10 lei/m², iar pentru fețele laterale costă 5 lei/m². Determinați dimensiunile cutiei care minimizează costul total.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrieți volumul și exprimați înălțimea hh în funcție de latura bazei xx: V=x2h=32⇒h=32x2V = x^2 h = 32 \Rightarrow h = \frac{32}{x^2}.
22 puncte
Scrieți costul total: C(x)=10x2+5⋅4xh=10x2+20x⋅32x2C(x) = 10x^2 + 5 \cdot 4xh = 10x^2 + 20x \cdot \frac{32}{x^2}.
32 puncte
Simplificați: C(x)=10x2+640xC(x) = 10x^2 + \frac{640}{x}.
42 puncte
Derivați: C′(x)=20x−640x2C'(x) = 20x - \frac{640}{x^2}.
51 punct
Setați C′(x)=0C'(x)=0 și rezolvați: 20x=640x2⇒x3=32⇒x=32320x = \frac{640}{x^2} \Rightarrow x^3 = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{32}.
61 punct
Verificați că este minim: C′′(x)=20+1280x3>0C''(x) = 20 + \frac{1280}{x^3} > 0 pentru x>0x>0, deci x=323x = \sqrt[3]{32} minimizează costul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.