MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=1000+50x+0.1x2C(x) = 1000 + 50x + 0.1x^2, iar venitul total este V(x)=120x−0.2x2V(x) = 120x - 0.2x^2, unde xx este numărul de unități produse (în mii). Determinați cantitatea de produse care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Profitul este P(x)=V(x)−C(x)=(120x−0.2x2)−(1000+50x+0.1x2)=−1000+70x−0.3x2P(x) = V(x) - C(x) = (120x - 0.2x^2) - (1000 + 50x + 0.1x^2) = -1000 + 70x - 0.3x^2.
23 puncte
Se calculează derivata: P′(x)=70−0.6xP'(x) = 70 - 0.6x. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0: 70−0.6x=0⇒x=700.6=3503≈116.6770 - 0.6x = 0 \Rightarrow x = \frac{70}{0.6} = \frac{350}{3} \approx 116.67 mii unități.
32 puncte
Se verifică semnul derivatei a doua: P′′(x)=−0.6<0P''(x) = -0.6 < 0, deci punctul este de maxim.
42 puncte
Se calculează profitul maxim: P(3503)=−1000+70⋅3503−0.3⋅(3503)2=277509≈3083.33P\left(\frac{350}{3}\right) = -1000 + 70 \cdot \frac{350}{3} - 0.3 \cdot \left(\frac{350}{3}\right)^2 = \frac{27750}{9} \approx 3083.33 mii unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.