MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorDerivate
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+12x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 12x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=30−0.1xp(x) = 30 - 0.1x. Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea funcției profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)P(x) = x \cdot p(x) - C(x).
23 puncte
Calculul explicit al funcției profit: P(x)=x(30−0.1x)−(0.01x3−0.6x2+12x+100)=−0.01x3+0.5x2+18x−100P(x) = x(30-0.1x) - (0.01x^3 -0.6x^2+12x+100) = -0.01x^3 + 0.5x^2 + 18x -100.
33 puncte
Derivarea funcției profit și găsirea punctelor critice: P′(x)=−0.03x2+x+18P'(x) = -0.03x^2 + x + 18. Se rezolvă ecuația P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.03x2+x+18=0⇒3x2−100x−1800=0-0.03x^2 + x + 18=0 \Rightarrow 3x^2 -100x -1800=0 (înmulțind cu -100). Discriminantul Δ=10000+21600=31600\Delta = 10000 + 21600 = 31600, deci x=100±316006x = \frac{100 \pm \sqrt{31600}}{6}. Se consideră rădăcina pozitivă, aproximativ x≈60x \approx 60 (sau forma exactă dacă se simplifică).
42 puncte
Verificarea că punctul critic este maxim: P′′(x)=−0.06x+1P''(x) = -0.06x + 1. Pentru x≈60x \approx 60, P′′(60)<0P''(60) < 0, deci este punct de maxim. Calculul profitului maxim: P(60)=−0.01⋅603+0.5⋅602+18⋅60−100=−2160+1800+1080−100=620P(60) = -0.01 \cdot 60^3 + 0.5 \cdot 60^2 + 18 \cdot 60 - 100 = -2160 + 1800 + 1080 - 100 = 620.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.