MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelor
O companie produce un anumit bun. Funcția costului total este C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități), iar C(x)C(x) este costul total (în mii de lei). Funcția venitului total este V(x)=50xV(x) = 50x. Determină cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculează profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definire profit: P(x)=V(x)−C(x)=50x−(0.1x3−2x2+30x+100)=−0.1x3+2x2+20x−100P(x) = V(x) - C(x) = 50x - (0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 2x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Derivare pentru puncte critice: P′(x)=−0.3x2+4x+20P'(x) = -0.3x^2 + 4x + 20. Setare P′(x)=0P'(x) = 0: −0.3x2+4x+20=0-0.3x^2 + 4x + 20 = 0. Înmulțire cu 10: −3x2+40x+200=0-3x^2 + 40x + 200 = 0. Rezolvare ecuație pătratică: Δ=402−4⋅(−3)⋅200=1600+2400=4000\Delta = 40^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 200 = 1600 + 2400 = 4000, x=−40±4000−6=−40±2010−6x = \frac{-40 \pm \sqrt{4000}}{-6} = \frac{-40 \pm 20\sqrt{10}}{-6}. Obținere soluții: x1≈−3.44x_1 \approx -3.44 (nu are sens economic, cantitatea nu poate fi negativă) și x2≈19.44x_2 \approx 19.44.
33 puncte
Verificare maxim: P′′(x)=−0.6x+4P''(x) = -0.6x + 4. Pentru x≈19.44x \approx 19.44: P′′(19.44)=−0.6⋅19.44+4=−11.664+4=−7.664<0P''(19.44) = -0.6 \cdot 19.44 + 4 = -11.664 + 4 = -7.664 < 0, deci este punct de maxim.
42 puncte
Calcul profit maxim: P(19.44)=−0.1(19.44)3+2(19.44)2+20(19.44)−100P(19.44) = -0.1(19.44)^3 + 2(19.44)^2 + 20(19.44) - 100. Aproximare: −0.1⋅7346.6+2⋅377.9+388.8−100=−734.66+755.8+388.8−100=310.94-0.1 \cdot 7346.6 + 2 \cdot 377.9 + 388.8 - 100 = -734.66 + 755.8 + 388.8 - 100 = 310.94 mii lei. Interpretare: profit maxim ≈ 310940 lei pentru o producție de aproximativ 19440 unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.