MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelor
Un fermier are la dispoziție 100 de metri de sârmă pentru a construi un gard rectangular. O latură a dreptunghiului se sprijină pe un zid, astfel că nu necesită sârmă. Găsiți dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria încinsă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm cu xx lungimea laturii paralele cu zidul (în metri) și cu yy lungimea celorlalte două laturi.
23 puncte
Lungimea totală a sârmei utilizate este x+2y=100x + 2y = 100. Din aceasta, exprimăm y=100−x2y = \frac{100 - x}{2}.
32 puncte
Aria dreptunghiului este A=x⋅yA = x \cdot y. Înlocuind, obținem A(x)=x⋅100−x2=50x−x22A(x) = x \cdot \frac{100 - x}{2} = 50x - \frac{x^2}{2}.
42 puncte
Calculăm derivata funcției: A′(x)=50−xA'(x) = 50 - x. Punctul critic se obține din A′(x)=0A'(x) = 0, adică x=50x = 50.
51 punct
Derivata a doua este A′′(x)=−1<0A''(x) = -1 < 0, deci x=50x = 50 este punct de maxim. Atunci y=100−502=25y = \frac{100 - 50}{2} = 25. Dimensiunile optime sunt 50 m pe 25 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.