MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorArii și volume
O firmă produce recipiente cilindrice circulare drepte. Volumul fiecărui recipient trebuie să fie 50π50\pi dm³. Costul materialului pentru baze este de 3 lei/dm², iar pentru suprafața laterală este de 2 lei/dm². Să se determine raza și înălțimea recipientului pentru care costul total de producție este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimarea înălțimii hh în funcție de raza rr din condiția volumului: V=πr2h=50π⇒h=50r2V = \pi r^2 h = 50\pi \Rightarrow h = \frac{50}{r^2}.
23 puncte
Scrierea funcției cost total C(r)C(r): costul bazelor este 3⋅2πr2=6πr23 \cdot 2\pi r^2 = 6\pi r^2, costul suprafeței laterale este 2⋅2πrh=4πr⋅50r2=200πr2 \cdot 2\pi r h = 4\pi r \cdot \frac{50}{r^2} = \frac{200\pi}{r}, deci C(r)=6πr2+200πrC(r) = 6\pi r^2 + \frac{200\pi}{r}.
33 puncte
Derivarea funcției C(r)C(r) și găsirea punctelor critice: C′(r)=12πr−200πr2C'(r) = 12\pi r - \frac{200\pi}{r^2}. Se rezolvă C′(r)=0⇒12πr=200πr2⇒12πr3=200π⇒r3=503⇒r=5033C'(r) = 0 \Rightarrow 12\pi r = \frac{200\pi}{r^2} \Rightarrow 12\pi r^3 = 200\pi \Rightarrow r^3 = \frac{50}{3} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{50}{3}} dm.
42 puncte
Calculul înălțimii: h=50r2=50(5033)2=50(503)2/3=45053=903h = \frac{50}{r^2} = \frac{50}{\left(\sqrt[3]{\frac{50}{3}}\right)^2} = \frac{50}{\left(\frac{50}{3}\right)^{2/3}} = \sqrt[3]{\frac{450}{5}} = \sqrt[3]{90} dm (sau simplificat). Se verifică semnul derivatei a doua sau natura punctului critic pentru a confirma că este minim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.