MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu un cost total dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este de 10 lei pe unitate. Determinați cantitatea care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea funcției profit: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), cu R(x)=10xR(x) = 10x, deci P(x)=10x−(0.01x3−0.6x2+13x+100)=−0.01x3+0.6x2−3x−100P(x) = 10x - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100) = -0.01x^3 + 0.6x^2 - 3x - 100.
23 puncte
Găsirea punctelor critice: calculul derivatei P′(x)=−0.03x2+1.2x−3P'(x) = -0.03x^2 + 1.2x - 3 și rezolvarea P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.03x2+1.2x−3=0-0.03x^2 + 1.2x - 3 = 0 sau x2−40x+100=0x^2 - 40x + 100 = 0.
33 puncte
Rezolvarea ecuației: x=40±1600−4002=40±12002=20±103≈20±17.32x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 400}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1200}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{3} \approx 20 \pm 17.32, deci x≈37.32x \approx 37.32 sau x≈2.68x \approx 2.68. Verificarea cu derivata a doua P′′(x)=−0.06x+1.2P''(x) = -0.06x + 1.2: pentru x≈37.32x \approx 37.32, P′′(37.32)<0P''(37.32) < 0 (maxim), deci cantitatea optimă este x≈37.32x \approx 37.32 unități.
42 puncte
Calculul profitului maxim: P(37.32)≈−0.01(37.32)3+0.6(37.32)2−3(37.32)−100≈−519+835.8−111.96−100≈104.84P(37.32) \approx -0.01(37.32)^3 + 0.6(37.32)^2 - 3(37.32) - 100 \approx -519 + 835.8 - 111.96 - 100 \approx 104.84 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.