MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatriciGeometrie Analitică
Într-un parc de distracții, un carusel se rotește. Poziția unui scaun pe carusel poate fi modelată printr-o rotație în plan. Considerăm că inițial scaunul este în punctul P(1,0)P(1,0). După o rotație cu un unghi θ\theta, noul punct P′P' se obține prin înmulțirea matricei de rotație cu vectorul poziție. Matricea de rotație este R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. a) Dacă caruselul se rotește cu 60∘60^\circ, determinați coordonatele lui P′P'. b) Caruselul are trei scaune la distanțe diferite: la razele 1, 2 și 3 unități. Scrieți o matrice care să reprezinte pozițiile inițiale ale acestor trei scaune și folosiți matricea de rotație pentru a găsi pozițiile lor după o rotație cu 90∘90^\circ. c) Dacă caruselul efectuează două rotații succesive, una cu 30∘30^\circ și apoi cu 45∘45^\circ, arătați că matricea totală de rotație este produsul matricelor individuale și calculați coordonatele finale ale scaunului de la raza 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru θ=60∘\theta = 60^\circ, R(60∘)=(12−323212)R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, deci P′=R(60∘)(10)=(1232)P' = R(60^\circ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
23 puncte
Matricea pozițiilor inițiale ale celor trei scaune (pe axa Ox): P0=(123000)P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. După rotația cu 90∘90^\circ, R(90∘)=(0−110)R(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, deci pozițiile finale sunt Pf=R(90∘)P0=(000123)P_f = R(90^\circ) P_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
33 puncte
Matricea totală pentru rotații succesive: R(30∘)R(45∘)=R(75∘)R(30^\circ) R(45^\circ) = R(75^\circ), deoarece rotațiile în plan compun aditiv unghiurile. Calculul coordonatelor finale pentru scaunul la raza 1 (inițial (1,0)(1,0)): P′=R(75∘)(10)=(cos⁡75∘sin⁡75∘)=(6−246+24)P' = R(75^\circ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 75^\circ \\ \sin 75^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \\ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix}.
42 puncte
Interpretare: rotațiile în plan pot fi reprezentate eficient prin matrici, iar compunerea lor corespunde înmulțirii matricelor, aplicabilă în modelarea mișcărilor circulare din viața reală, cum ar fi la carusel.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.