MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O firmă estimează că cererea pentru un produs său este dată de funcția p(q)=200−0.5qp(q) = 200 - 0.5q, unde pp este prețul în lei și qq este cantitatea vândută. Costul total de producție este C(q)=0.2q2+20q+500C(q) = 0.2q^2 + 20q + 500. Determinați cantitatea qq care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem funcția de venit: V(q)=p(q)⋅q=(200−0.5q)q=200q−0.5q2V(q) = p(q) \cdot q = (200 - 0.5q)q = 200q - 0.5q^2.
22 puncte
Funcția de profit: Π(q)=V(q)−C(q)=(200q−0.5q2)−(0.2q2+20q+500)=200q−0.5q2−0.2q2−20q−500=180q−0.7q2−500\Pi(q) = V(q) - C(q) = (200q - 0.5q^2) - (0.2q^2 + 20q + 500) = 200q - 0.5q^2 - 0.2q^2 - 20q - 500 = 180q - 0.7q^2 - 500.
33 puncte
Derivăm funcția de profit: Π′(q)=180−1.4q\Pi'(q) = 180 - 1.4q.
42 puncte
Studiem punctele critice: Π′(q)=0⇒180−1.4q=0⇒q=1801.4≈128.57\Pi'(q) = 0 \Rightarrow 180 - 1.4q = 0 \Rightarrow q = \frac{180}{1.4} \approx 128.57. Verificăm semnul derivatei: pentru q<128.57q < 128.57, Π′(q)>0\Pi'(q) > 0; pentru q>128.57q > 128.57, Π′(q)<0\Pi'(q) < 0, deci q≈128.57q \approx 128.57 maximizează profitul.
51 punct
Calculăm profitul maxim: Π(128.57)≈180×128.57−0.7×(128.57)2−500≈23142.6−0.7×16530.6−500≈23142.6−11571.4−500=11071.2\Pi(128.57) \approx 180 \times 128.57 - 0.7 \times (128.57)^2 - 500 \approx 23142.6 - 0.7 \times 16530.6 - 500 \approx 23142.6 - 11571.4 - 500 = 11071.2 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.