MediuMatematică aplicatăClasa 9

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Pentru a determina înălțimea unui turn, un observator măsoară unghiul de elevație de la două puncte A și B, aflate la aceeași altitudine și pe aceeași linie dreaptă cu baza turnului. Distanța dintre A și B este de 50 m. Din punctul A, unghiul de elevație este de 30∘30^\circ, iar din punctul B este de 45∘45^\circ. Calculați înălțimea turnului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Se notează înălțimea turnului cu hh (m) și distanța de la punctul B la baza turnului cu xx (m). Atunci distanța de la A la baza turnului este x+50x + 50 m.
23 puncte
Se scriu ecuațiile trigonometrice: tan⁡30∘=hx+50\tan 30^\circ = \frac{h}{x+50} și tan⁡45∘=hx\tan 45^\circ = \frac{h}{x}. Se știe că tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} și tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1.
34 puncte
Se rezolvă sistemul: hx+50=33\frac{h}{x+50} = \frac{\sqrt{3}}{3} și hx=1\frac{h}{x} = 1. Din a doua ecuație, h=xh = x. Înlocuind în prima: xx+50=33⇒3x=3(x+50)⇒3x=3x+503⇒x(3−3)=503⇒x=5033−3\frac{x}{x+50} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow 3x = \sqrt{3}(x+50) \Rightarrow 3x = \sqrt{3}x + 50\sqrt{3} \Rightarrow x(3 - \sqrt{3}) = 50\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{50\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}.
42 puncte
Se raționalizează numitorul: x=5033−3⋅3+33+3=503(3+3)9−3=503(3+3)6=253(3+3)3=25(33+3)3=75(3+1)3=25(3+1)x = \frac{50\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{50\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{25\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})}{3} = \frac{25(3\sqrt{3} + 3)}{3} = \frac{75(\sqrt{3} + 1)}{3} = 25(\sqrt{3} + 1). Atunci h=x=25(3+1)h = x = 25(\sqrt{3} + 1) m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.