MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăDerivateStudiul funcțiilor
Un fermier dorește să construiască un țarc rectangular cu lungimea de zidărie disponibilă de 200 m. El vrea să maximizeze aria țarcului, folosind un perete existent pe una dintre laturi, astfel încât să nu fie nevoie de zidărie pe acea latură. Exprimați aria AA a țarcului în funcție de lungimea xx a laturii perpendiculare pe peretele existent, apoi determinați dimensiunile țarcului pentru care aria este maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm xx lungimea laturilor perpendiculare pe peretele existent (în metri). Deoarece lungimea totală a zidăriei este 200 m și nu se folosește pe latura peretelui, avem 2x+y=2002x + y = 200, unde yy este lungimea laturii paralele cu peretele. Se exprimă y=200−2xy = 200 - 2x.
23 puncte
Aria este A(x)=x⋅y=x(200−2x)=200x−2x2A(x) = x \cdot y = x(200 - 2x) = 200x - 2x^2, cu x>0x > 0 și y>0y > 0, deci 0<x<1000 < x < 100.
33 puncte
Derivata funcției: A′(x)=200−4xA'(x) = 200 - 4x. Se rezolvă A′(x)=0A'(x) = 0 pentru puncte critice: 200−4x=0⇒x=50200 - 4x = 0 \Rightarrow x = 50. Se verifică semnul derivatei: pentru x<50x < 50, A′(x)>0A'(x) > 0 (funcția crescătoare), pentru x>50x > 50, A′(x)<0A'(x) < 0 (funcția descrescătoare), deci x=50x = 50 este punct de maxim.
42 puncte
Se calculează y=200−2⋅50=100y = 200 - 2 \cdot 50 = 100. Dimensiunile pentru aria maximă sunt x=50x = 50 m și y=100y = 100 m, cu aria maximă A(50)=200⋅50−2⋅502=5000A(50) = 200 \cdot 50 - 2 \cdot 50^2 = 5000 m².

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.