MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un siloz cilindric pentru cereale trebuie să aibă volumul de 1000 m3m^3. Materialul pentru suprafața laterală costă 200 lei pe m2m^2, iar pentru baze costă 300 lei pe m2m^2. Să se determine raza bazei și înălțimea silozului astfel încât costul total al materialului să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Volumul cilindrului: V=πr2h=1000V = \pi r^2 h = 1000, deci h=1000πr2h = \frac{1000}{\pi r^2}. Suprafața laterală: Al=2πrhA_l = 2\pi r h, suprafața bazelor: Ab=2πr2A_b = 2\pi r^2.
23 puncte
Costul total: C(r)=200⋅2πrh+300⋅2πr2=400πrh+600πr2C(r) = 200 \cdot 2\pi r h + 300 \cdot 2\pi r^2 = 400\pi r h + 600\pi r^2. Înlocuind hh: C(r)=400πr⋅1000πr2+600πr2=400000r+600πr2C(r) = 400\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} + 600\pi r^2 = \frac{400000}{r} + 600\pi r^2.
33 puncte
Derivata: C′(r)=−400000r2+1200πrC'(r) = -\frac{400000}{r^2} + 1200\pi r. Se rezolvă C′(r)=0C'(r) = 0: 1200πr=400000r21200\pi r = \frac{400000}{r^2}, deci r3=4000001200π=10003πr^3 = \frac{400000}{1200\pi} = \frac{1000}{3\pi}, adică r=10003π3r = \sqrt[3]{\frac{1000}{3\pi}}.
42 puncte
Se verifică că C′′(r)>0C''(r) > 0 pentru r>0r > 0 (sau semnul derivatei) confirmă minimul. Apoi h=1000πr2h = \frac{1000}{\pi r^2}; valorile exacte: r=10003π3r = \sqrt[3]{\frac{1000}{3\pi}}, h=1000π(3π1000)2/3h = \frac{1000}{\pi} \left( \frac{3\pi}{1000} \right)^{2/3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.