MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un fermier are la dispoziție 100 m de gard pentru a construi un depozit dreptunghiular. El dorește să maximizeze aria depozitului. Determinați dimensiunile care asigură aria maximă. Apoi, presupunând că costul construcției peretelui este de 200 lei/m pentru laturile lungi și 150 lei/m pentru laturile scurte, și că depozitul trebuie să aibă o arie de cel puțin 600 m², găsiți dimensiunile care minimizează costul total al construcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie ll lungimea și LL lățimea. Perimetrul: 2l+2L=1002l + 2L = 100, deci L=50−lL = 50 - l. Aria: A(l)=l(50−l)=50l−l2A(l) = l(50 - l) = 50l - l^2. Derivata: A′(l)=50−2lA'(l) = 50 - 2l. Punând A′(l)=0A'(l) = 0, l=25l = 25, L=25L = 25. Verificare: A′′(l)=−2<0A''(l) = -2 < 0, deci maxim. Dimensiuni pentru aria maximă: 25 m x 25 m.
23 puncte
Costul total: C(l)=2l⋅150+2L⋅200=300l+400(50−l)=300l+20000−400l=20000−100lC(l) = 2l \cdot 150 + 2L \cdot 200 = 300l + 400(50 - l) = 300l + 20000 - 400l = 20000 - 100l. Condiția de arie: A(l)=l(50−l)≥600A(l) = l(50 - l) \geq 600. Rezolvând 50l−l2≥60050l - l^2 \geq 600, adică l2−50l+600≤0l^2 - 50l + 600 \leq 0, factorizând (l−20)(l−30)≤0(l-20)(l-30) \leq 0, deci 20≤l≤3020 \leq l \leq 30.
34 puncte
Costul C(l)=20000−100lC(l) = 20000 - 100l este o funcție descrescătoare în ll. Pentru a minimiza costul sub constrângerea 20≤l≤3020 \leq l \leq 30, alege ll maxim, adică l=30l = 30, atunci L=20L = 20. Costul minim: C(30)=20000−100⋅30=17000C(30) = 20000 - 100 \cdot 30 = 17000 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.