MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelor
Un teren dreptunghiular are aria de 400 m². Pe una dintre laturi se construiește un gard care costă 50 lei/m, iar pe celelalte trei laturi gardul costă 30 lei/m. Determinați dimensiunile terenului astfel încât costul total al gardului să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se notează lățimea terenului cu xx (m) și lungimea cu yy (m). Se scrie aria: xy=400xy = 400. Se presupune că latura cu costul de 50 lei/m este lungimea yy. Costul total: C=50y+30(2x+y)=80y+60xC = 50y + 30(2x + y) = 80y + 60x.
22 puncte
Se exprimă costul în funcție de xx: din y=400xy = \frac{400}{x}, avem C(x)=80⋅400x+60x=32000x+60xC(x) = 80 \cdot \frac{400}{x} + 60x = \frac{32000}{x} + 60x.
33 puncte
Se calculează derivata: C′(x)=−32000x2+60C'(x) = -\frac{32000}{x^2} + 60. Se rezolvă C′(x)=0C'(x) = 0: −32000x2+60=0⇒32000x2=60⇒x2=3200060=16003⇒x=403=4033-\frac{32000}{x^2} + 60 = 0 \Rightarrow \frac{32000}{x^2} = 60 \Rightarrow x^2 = \frac{32000}{60} = \frac{1600}{3} \Rightarrow x = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} (deoarece x>0x > 0).
42 puncte
Se studiază semnul derivatei: pentru x<4033x < \frac{40\sqrt{3}}{3}, C′(x)<0C'(x) < 0 (funcția descrescătoare), pentru x>4033x > \frac{40\sqrt{3}}{3}, C′(x)>0C'(x) > 0 (funcția crescătoare), deci x=4033x = \frac{40\sqrt{3}}{3} este punct de minim.
51 punct
Se calculează y=400x=4004033=103y = \frac{400}{x} = \frac{400}{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 10\sqrt{3}. Deci dimensiunile sunt: lățimea 4033\frac{40\sqrt{3}}{3} m și lungimea 10310\sqrt{3} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.