MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un agricultor vrea să împrejmuiească un teren dreptunghiular de-a lungul unui râu, fără gard pe latura de lângă râu. Bugetul pentru gard este de 1200 lei. Costul gardului pe laturile perpendiculare pe râu este de 5 lei/m, iar pe latura opusă râului este de 15 lei/m. Aflați dimensiunile terenului care maximizează aria.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notați cu xx lungimea laturilor perpendiculare pe râu (în metri) și cu yy lungimea laturii opuse râului.
22 puncte
Costul total: C=5⋅2x+15⋅y=10x+15yC = 5 \cdot 2x + 15 \cdot y = 10x + 15y. Buget fix: 10x+15y=120010x + 15y = 1200.
32 puncte
Din ecuația bugetului, exprimați yy: y=1200−10x15=80−23xy = \frac{1200 - 10x}{15} = 80 - \frac{2}{3}x.
42 puncte
Aria terenului: A(x)=x⋅y=x(80−23x)=80x−23x2A(x) = x \cdot y = x \left(80 - \frac{2}{3}x\right) = 80x - \frac{2}{3}x^2. Derivați: A′(x)=80−43xA'(x) = 80 - \frac{4}{3}x.
52 puncte
Găsiți punctul critic: A′(x)=0⇒x=60A'(x) = 0 \Rightarrow x = 60. Atunci y=80−23⋅60=40y = 80 - \frac{2}{3} \cdot 60 = 40. Verificați că A′′(x)=−43<0A''(x) = -\frac{4}{3} < 0, deci este maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.