MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Pentru a construi un rezervor cilindric cu capacitate de 5050 m³, costul materialului pentru bază și capac este de 100100 lei/m², iar pentru suprafața laterală este de 8080 lei/m². Determinați raza și înălțimea rezervorului care minimizează costul total de construcție. Se știe că volumul unui cilindru este V=πr2hV = \pi r^2 h.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimarea înălțimii în funcție de rază folosind volumul: 50=πr2h50 = \pi r^2 h, deci h=50πr2h = \frac{50}{\pi r^2}.
23 puncte
Scrierea funcției cost total C(r)C(r): Aria bazei și capacului: 2πr22\pi r^2; aria laterală: 2πrh=2πr⋅50πr2=100r2\pi r h = 2\pi r \cdot \frac{50}{\pi r^2} = \frac{100}{r}. Costul: C(r)=100⋅2πr2+80⋅100r=200πr2+8000rC(r) = 100 \cdot 2\pi r^2 + 80 \cdot \frac{100}{r} = 200\pi r^2 + \frac{8000}{r}.
33 puncte
Derivarea și găsirea punctelor critice: C′(r)=400πr−8000r2C'(r) = 400\pi r - \frac{8000}{r^2}. Setarea C′(r)=0C'(r) = 0: 400πr=8000r2400\pi r = \frac{8000}{r^2}, deci r3=8000400π=20πr^3 = \frac{8000}{400\pi} = \frac{20}{\pi}, rezultă r=20π3r = \sqrt[3]{\frac{20}{\pi}} m.
41 punct
Calculul înălțimii: h=50πr2=50π(20π3)2=50π⋅(20π)2/3h = \frac{50}{\pi r^2} = \frac{50}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{20}{\pi}}\right)^2} = \frac{50}{\pi \cdot \left(\frac{20}{\pi}\right)^{2/3}}. Simplificare: h=50π⋅(π20)2/3=50⋅π−1⋅π2/3⋅20−2/3=50⋅π−1/3⋅20−2/3=50⋅(π400)−1/3=50⋅400π3h = \frac{50}{\pi} \cdot \left(\frac{\pi}{20}\right)^{2/3} = 50 \cdot \pi^{-1} \cdot \pi^{2/3} \cdot 20^{-2/3} = 50 \cdot \pi^{-1/3} \cdot 20^{-2/3} = 50 \cdot \left(\frac{\pi}{400}\right)^{-1/3} = 50 \cdot \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}. Observăm că h=2rh = 2r, deci cilindrul optim are înălțimea egală cu diametrul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.