MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un bun. Funcția de cost total este dată de C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități). Prețul de vânzare pe unitate este p=50−0.5xp = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați cantitatea care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.5x)−(0.1x3−3x2+30x+100)=−0.1x3+2.5x2+20x−100P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - 0.5x) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−0.3x2+5x+20P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 20. Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0: −0.3x2+5x+20=0⇒3x2−50x−200=0-0.3x^2 + 5x + 20 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 50x - 200 = 0. Soluțiile: x1=20,x2=−103x_1 = 20, x_2 = -\frac{10}{3}. Se consideră x=20x = 20 (cantitatea pozitivă).
32 puncte
Verificarea maximului: P′′(x)=−0.6x+5P''(x) = -0.6x + 5. Pentru x=20x=20, P′′(20)=−7<0P''(20) = -7 < 0, deci este punct de maxim.
42 puncte
Calculul profitului maxim: P(20)=−0.1⋅203+2.5⋅202+20⋅20−100=−800+1000+400−100=500P(20) = -0.1 \cdot 20^3 + 2.5 \cdot 20^2 + 20 \cdot 20 - 100 = -800 + 1000 + 400 - 100 = 500 (mii de lei).
51 punct
Interpretare: Cantitatea optimă este 20 mii unități, profitul maxim 500 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.