MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+10x+100C(x) = 0.1x^2 + 10x + 100, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este dat de funcția p(x)=50−0.2xp(x) = 50 - 0.2x. Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Definiți profitul ca P(x)=V(x)−C(x)P(x) = V(x) - C(x), unde V(x)=x⋅p(x)V(x) = x \cdot p(x) este venitul total.
22 puncte
Calculați V(x)=x(50−0.2x)=50x−0.2x2V(x) = x(50 - 0.2x) = 50x - 0.2x^2 și apoi P(x)=(50x−0.2x2)−(0.1x2+10x+100)=−0.3x2+40x−100P(x) = (50x - 0.2x^2) - (0.1x^2 + 10x + 100) = -0.3x^2 + 40x - 100.
33 puncte
Derivați P(x)P(x): P′(x)=−0.6x+40P'(x) = -0.6x + 40. Găsiți punctul critic: P′(x)=0⇒−0.6x+40=0⇒x=2003P'(x)=0 \Rightarrow -0.6x + 40 = 0 \Rightarrow x = \frac{200}{3}.
42 puncte
Verificați că este maxim: P′′(x)=−0.6<0P''(x) = -0.6 < 0, deci funcția este concavă în jos și punctul critic este maxim.
52 puncte
Calculați profitul maxim: P(2003)=−0.3(2003)2+40⋅2003−100=37003P\left(\frac{200}{3}\right) = -0.3 \left(\frac{200}{3}\right)^2 + 40 \cdot \frac{200}{3} - 100 = \frac{3700}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.