MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un anumit bun. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+10x+1000C(x) = 0.1x^2 + 10x + 1000, unde xx este numărul de unități produse, măsurat în bucăți. Prețul de vânzare pe unitate este P(x)=200−0.5xP(x) = 200 - 0.5x. Determinați numărul de unități care trebuie produse pentru a maximiza profitul firmei. (Notă: Profitul este dat de Pr(x)=V(x)−C(x)Pr(x) = V(x) - C(x), unde venitul este V(x)=x⋅P(x)V(x) = x \cdot P(x).)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimăm profitul: Pr(x)=x(200−0.5x)−(0.1x2+10x+1000)=200x−0.5x2−0.1x2−10x−1000=−0.6x2+190x−1000Pr(x) = x(200 - 0.5x) - (0.1x^2 + 10x + 1000) = 200x - 0.5x^2 - 0.1x^2 - 10x - 1000 = -0.6x^2 + 190x - 1000.
23 puncte
Calculăm derivata: Pr′(x)=−1.2x+190Pr'(x) = -1.2x + 190.
33 puncte
Aflăm punctele critice: Pr′(x)=0⇒−1.2x+190=0⇒x=1901.2=4753≈158.33Pr'(x) = 0 \Rightarrow -1.2x + 190 = 0 \Rightarrow x = \frac{190}{1.2} = \frac{475}{3} \approx 158.33. Deoarece xx reprezintă număr de unități, considerăm x=158x = 158 sau x=159x = 159 pentru analiză; dar pentru maximizare continuă, punctul critic este x=4753x = \frac{475}{3}.
42 puncte
Verificăm maximul: Pr′′(x)=−1.2<0Pr''(x) = -1.2 < 0, deci funcția este concavă, iar x=4753x = \frac{475}{3} este punct de maxim. Interpretare: firma trebuie să producă aproximativ 158 sau 159 unități (în funcție de rotunjire practică) pentru profit maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.