MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăDerivateAplicații ale derivatelor
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, pentru x∈[0,20]x \in [0, 20]. Determinați numărul de unități xx care minimizează costul mediu de producție, definit ca Cm(x)=C(x)xC_m(x) = \frac{C(x)}{x} pentru x>0x > 0. Aflați acest cost mediu minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției cost mediu: Cm(x)=0.1x3−3x2+30x+100x=0.1x2−3x+30+100xC_m(x) = \frac{0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100}{x} = 0.1x^2 - 3x + 30 + \frac{100}{x}, pentru x>0x > 0.
23 puncte
Derivarea funcției: Cm′(x)=0.2x−3−100x2C_m'(x) = 0.2x - 3 - \frac{100}{x^2}.
33 puncte
Setarea derivatei egale cu zero: 0.2x−3−100x2=0⇒0.2x3−3x2−100=00.2x - 3 - \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow 0.2x^3 - 3x^2 - 100 = 0. Rezolvarea ecuației: se poate folosi o metodă numerică (de ex., metoda încercărilor) pentru a găsi rădăcina pozitivă; o aproximare este x≈10.65x \approx 10.65.
42 puncte
Verificarea că este minim (de ex., Cm′′(x)=0.2+200x3>0C_m''(x) = 0.2 + \frac{200}{x^3} > 0 pentru x>0x>0, deci funcția este convexă și punctul critic este minim). Calculul costului mediu minim: Cm(10.65)≈0.1⋅(10.65)2−3⋅10.65+30+10010.65≈18.78C_m(10.65) \approx 0.1\cdot(10.65)^2 - 3\cdot10.65 + 30 + \frac{100}{10.65} \approx 18.78 mii de lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.