MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu costul total dat de funcția C(x)=0.01x3−1.5x2+90x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p=120−0.5xp = 120 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p=120x−0.5x2R(x) = x \cdot p = 120x - 0.5x^2.
22 puncte
Obținerea funcției profit: P(x)=(120x−0.5x2)−(0.01x3−1.5x2+90x+1000)=−0.01x3+x2+30x−1000P(x) = (120x - 0.5x^2) - (0.01x^3 - 1.5x^2 + 90x + 1000) = -0.01x^3 + x^2 + 30x - 1000.
32 puncte
Derivarea funcției profit: P′(x)=−0.03x2+2x+30P'(x) = -0.03x^2 + 2x + 30.
42 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0: −0.03x2+2x+30=0⇒3x2−200x−3000=0-0.03x^2 + 2x + 30 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 200x - 3000 = 0.
51 punct
Calculul rădăcinilor: x=200±2002+4⋅3⋅30006=200±760006=100±101903x = \frac{200 \pm \sqrt{200^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3000}}{6} = \frac{200 \pm \sqrt{76000}}{6} = \frac{100 \pm 10\sqrt{190}}{3}.
61 punct
Identificarea rădăcinii pozitive care dă maximul: x=100+101903x = \frac{100 + 10\sqrt{190}}{3} și calculul profitului maxim: Pmax=−0.01(100+101903)3+(100+101903)2+30⋅100+101903−1000P_{\text{max}} = -0.01 \left( \frac{100 + 10\sqrt{190}}{3} \right)^3 + \left( \frac{100 + 10\sqrt{190}}{3} \right)^2 + 30 \cdot \frac{100 + 10\sqrt{190}}{3} - 1000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.