MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Venitul total este V(x)=50x−0.1x2V(x) = 50x - 0.1x^2. Să se determine numărul de unități xx care maximizează profitul și să se calculeze profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=V(x)−C(x)=(50x−0.1x2)−(0.01x3−0.6x2+13x+100)=−0.01x3+0.5x2+37x−100P(x) = V(x) - C(x) = (50x - 0.1x^2) - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100) = -0.01x^3 + 0.5x^2 + 37x - 100.
24 puncte
Derivarea: P′(x)=−0.03x2+x+37P'(x) = -0.03x^2 + x + 37. Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.03x2+x+37=0-0.03x^2 + x + 37 = 0. Se înmulțește cu 100: −3x2+100x+3700=0-3x^2 + 100x + 3700 = 0 sau 3x2−100x−3700=03x^2 - 100x - 3700 = 0. Se calculează discriminantul: Δ=10000+44400=54400\Delta = 10000 + 44400 = 54400, Δ=4034\sqrt{\Delta} = 40\sqrt{34}. Soluția pozitivă: x=100+40346=50+20343x = \frac{100 + 40\sqrt{34}}{6} = \frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}.
32 puncte
Verificarea maximului: P′′(x)=−0.06x+1P''(x) = -0.06x + 1. Pentru x=50+20343x = \frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci punctul este de maxim.
42 puncte
Calculul profitului maxim: se înlocuiește xx în P(x)P(x): P(50+20343)=−0.01(50+20343)3+0.5(50+20343)2+37(50+20343)−100P\left(\frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}\right) = -0.01\left(\frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}\right)^3 + 0.5\left(\frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}\right)^2 + 37\left(\frac{50 + 20\sqrt{34}}{3}\right) - 100. Se poate lăsa sub formă simbolică sau se aproximează numeric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.