MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un antreprenor produce și vinde un produs. Funcția costului total este C(x)=0.1x3−2x2+20x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 20x + 100, unde x este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în lei pe unitate). Determină cantitatea care maximizează profitul și profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrieți funcția venitului: V(x)=x⋅p(x)=x(50−0.5x)=50x−0.5x2V(x) = x \cdot p(x) = x(50 - 0.5x) = 50x - 0.5x^2.
22 puncte
Scrieți funcția profitului: P(x)=V(x)−C(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+20x+100)=−0.1x3+1.5x2+30x−100P(x) = V(x) - C(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 20x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 30x - 100.
33 puncte
Găsiți derivata: P′(x)=−0.3x2+3x+30P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 30. Rezolvați P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+3x+30=0-0.3x^2 + 3x + 30 = 0 sau x2−10x−100=0x^2 - 10x - 100 = 0, deci x=10±100+4002=5±55x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 400}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{5}. Deoarece x>0, considerăm x=5+55≈16.18x = 5 + 5\sqrt{5} \approx 16.18.
42 puncte
Verificați semnul derivatei: pentru x mai mic decât 5+555 + 5\sqrt{5}, P′(x)>0P'(x)>0; pentru x mai mare, P′(x)<0P'(x)<0, deci punctul este maxim. Calculați P(x)P(x) la x=5+55x = 5 + 5\sqrt{5}: P(5+55)≈−0.1(16.18)3+1.5(16.18)2+30(16.18)−100≈282.8P(5+5\sqrt{5}) \approx -0.1(16.18)^3 + 1.5(16.18)^2 + 30(16.18) - 100 \approx 282.8.
51 punct
Răspuns: cantitatea care maximizează profitul este x=5+55x = 5 + 5\sqrt{5} unități, iar profitul maxim este de aproximativ 282,8 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.