MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
O firmă produce două tipuri de produse, A și B. Fiecare produs A necesită 2 ore de muncă și 1 kg de materie primă, iar produsul B necesită 1 oră de muncă și 2 kg de materie primă. Timpul total disponibil este de 100 ore, iar materia primă totală este de 80 kg. Profitul pe unitate este de 10 lei pentru A și 15 lei pentru B. Să se determine câte unități din fiecare produs trebuie produse pentru a maximiza profitul total.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Formularea modelului: notăm xx = numărul de produse A, yy = numărul de produse B. Funcția obiectiv: P(x,y)=10x+15yP(x,y) = 10x + 15y. Restricțiile: 2x+y≤1002x + y \leq 100, x+2y≤80x + 2y \leq 80, x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0.
23 puncte
Reprezentarea grafică a dreptelor 2x+y=1002x+y=100 și x+2y=80x+2y=80 și a semiplanelor. Regiunea fezabilă este un poligon convex în primul cadran.
32 puncte
Determinarea vârfurilor regiunii: (0,0), (50,0) de la 2x+y=1002x+y=100 cu y=0y=0, (0,40) de la x+2y=80x+2y=80 cu x=0x=0, și intersecția dreptelor: se rezolvă sistemul {2x+y=100x+2y=80\begin{cases} 2x+y=100 \\ x+2y=80 \end{cases}. Din a doua ecuație x=80−2yx=80-2y, înlocuind în prima: 2(80−2y)+y=100⇒160−4y+y=100⇒−3y=−60⇒y=202(80-2y)+y=100 \Rightarrow 160-4y+y=100 \Rightarrow -3y=-60 \Rightarrow y=20, apoi x=80−40=40x=80-40=40. Deci punctul (40,20).
42 puncte
Evaluarea funcției obiectiv în vârfuri: P(0,0)=0P(0,0)=0, P(50,0)=500P(50,0)=500, P(0,40)=600P(0,40)=600, P(40,20)=10⋅40+15⋅20=400+300=700P(40,20)=10\cdot40+15\cdot20=400+300=700.
51 punct
Concluzie: profitul maxim este 700 lei și se obține producând 40 unități din A și 20 unități din B.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.