MediuMatematică aplicatăClasa 12

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăProbabilitățiIntegrale definite
Timpul de servire a unui client (în minute) într-un magazin este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea de probabilitate dată de f(x)={k(6x−x2) pentru 0≤x≤30 altfel f(x) = \begin{cases} k(6x - x^2) & \text{ pentru } 0 \leq x \leq 3 \\ 0 & \text{ altfel } \end{cases}. Determinați constanta kk, probabilitatea ca timpul de servire să fie mai mic de 2 minute, și media timpului de servire.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția pentru densitate: ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1. Calculați ∫03k(6x−x2)dx=k[3x2−x33]03=k(27−9)=18k=1\int_0^3 k(6x - x^2) dx = k \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = k(27 - 9) = 18k = 1, deci k=118k = \frac{1}{18}.
23 puncte
P(X<2)=∫02118(6x−x2)dx=118[3x2−x33]02=118(12−83)=118⋅283=2854=1427P(X < 2) = \int_0^2 \frac{1}{18}(6x - x^2) dx = \frac{1}{18} \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{18} \left(12 - \frac{8}{3}\right) = \frac{1}{18} \cdot \frac{28}{3} = \frac{28}{54} = \frac{14}{27}.
34 puncte
Media E(X)=∫03x⋅118(6x−x2)dx=118∫03(6x2−x3)dx=118[2x3−x44]03=118(54−814)=118⋅1354=13572=1.875E(X) = \int_0^3 x \cdot \frac{1}{18}(6x - x^2) dx = \frac{1}{18} \int_0^3 (6x^2 - x^3) dx = \frac{1}{18} \left[ 2x^3 - \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \frac{1}{18} \left(54 - \frac{81}{4}\right) = \frac{1}{18} \cdot \frac{135}{4} = \frac{135}{72} = 1.875 minute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.