MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorSisteme de Ecuații Neliniare
O companie produce două produse, A și B. Funcția costului total este C(x,y)=2x2+3y2+4xy+10C(x,y) = 2x^2 + 3y^2 + 4xy + 10, unde xx și yy sunt cantitățile produse. Funcția de venit este V(x,y)=100x+120yV(x,y) = 100x + 120y. Determinați cantitățile xx și yy care maximizează profitul, presupunând că x,y≥0x, y \geq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește funcția profitului P(x,y)=V(x,y)−C(x,y)=100x+120y−(2x2+3y2+4xy+10)P(x,y) = V(x,y) - C(x,y) = 100x + 120y - (2x^2 + 3y^2 + 4xy + 10).
23 puncte
Se calculează derivatele parțiale: ∂P∂x=100−4x−4y\frac{\partial P}{\partial x} = 100 - 4x - 4y și ∂P∂y=120−6y−4x\frac{\partial P}{\partial y} = 120 - 6y - 4x.
33 puncte
Se rezolvă sistemul {100−4x−4y=0120−6y−4x=0\begin{cases} 100 - 4x - 4y = 0 \\ 120 - 6y - 4x = 0 \end{cases} obținând x=10x = 10 și y=15y = 15.
42 puncte
Se verifică că punctul critic este un maxim local folosind matricea hessiană: H=(−4−4−4−6)H = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -6 \end{pmatrix}, cu determinant pozitiv și elemente negative pe diagonală principală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.