MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi este înscris într-un cerc de rază R=10R = 10 cm. Să se afle dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria acestuia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabilirea relației dintre laturile dreptunghiului și raza cercului: dacă laturile sunt 2a2a și 2b2b, atunci a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 și aria este A=4abA = 4ab.
23 puncte
Exprimarea ariei în funcție de aa: A(a)=4a100−a2A(a) = 4a\sqrt{100 - a^2}, pentru a∈(0,10)a \in (0, 10).
33 puncte
Derivarea funcției: A′(a)=4100−a2−4a2100−a2A'(a) = 4\sqrt{100 - a^2} - \frac{4a^2}{\sqrt{100 - a^2}}, setarea A′(a)=0A'(a) = 0 și rezolvarea: a=b=52a = b = 5\sqrt{2} cm.
42 puncte
Determinarea dimensiunilor: 10210\sqrt{2} cm și 10210\sqrt{2} cm, cu aria maximă Amax=200A_{max} = 200 cm².

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.