MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatematică financiarăȘiruri de numere reale
Un investitor depune o sumă S0=5000S_0 = 5000 lei într-un cont bancar cu dobândă compusă la o rată anuală r=5%r = 5\%. El retrage la sfârșitul fiecărui an o sumă fixă R=300R = 300 lei. Notăm cu SnS_n suma rămasă în cont după nn ani (după retragerea anuală). a) Deduceți relația de recurență pentru SnS_n și exprimați SnS_n în funcție de nn. b) Determinați după câți ani suma din cont devine mai mică decât 1000 lei. c) Dacă investitorul dorește să retragă suma fixă RR timp de 20 de ani, iar după aceea să mai aibă în cont cel puțin 2000 lei, care ar trebui să fie suma inițială S0S_0 (rotunjită la cel mai apropiat leu)?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Relația de recurență: Sn=(1+r)Sn−1−RS_n = (1+r)S_{n-1} - R, cu r=0.05r=0.05, R=300R=300, S0=5000S_0=5000. Rezolvăm șirul: forma generală este Sn=A⋅1.05n+BS_n = A \cdot 1.05^n + B. Determinăm BB din ecuația B=1.05B−300⇒B=6000B = 1.05B - 300 \Rightarrow B=6000. Din S0=5000S_0=5000: 5000=A+6000⇒A=−10005000 = A + 6000 \Rightarrow A = -1000. Deci Sn=−1000⋅1.05n+6000S_n = -1000 \cdot 1.05^n + 6000.
23 puncte
Condiția Sn<1000S_n < 1000 devine −1000⋅1.05n+6000<1000⇒1.05n>5-1000 \cdot 1.05^n + 6000 < 1000 \Rightarrow 1.05^n > 5. Luând logaritmi: n>ln⁡5ln⁡1.05≈32.98n > \frac{\ln 5}{\ln 1.05} \approx 32.98, deci după n=33n=33 ani suma este sub 1000 lei.
34 puncte
Pentru n=20n=20, dorim S20≥2000S_{20} \ge 2000. Folosim formula: S20=S0⋅1.0520−300⋅1.0520−10.05S_{20} = S_0 \cdot 1.05^{20} - 300 \cdot \frac{1.05^{20}-1}{0.05}. Cu 1.0520≈2.65331.05^{20} \approx 2.6533 și 1.0520−10.05≈33.066\frac{1.05^{20}-1}{0.05} \approx 33.066, avem S20≈2.6533S0−9919.8≥2000⇒S0≥11919.82.6533≈4492.6S_{20} \approx 2.6533S_0 - 9919.8 \ge 2000 \Rightarrow S_0 \ge \frac{11919.8}{2.6533} \approx 4492.6. Rotunjind în sus, S0=4493S_0 = 4493 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.