MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatematică financiarăProgresii Geometrice
Un investitor plănuiește să depună o sumă inițială de 10.000 de euro într-un fond cu dobândă compusă anuală. El dorește ca suma să se tripleze în 15 ani. a) Determinați rata anuală a dobânzii necesară. b) Dacă rata dobânzii este de 8% pe an, calculați suma acumulată după 10 ani, considerând că se fac depuneri lunare constante de 100 de euro la începutul fiecărei luni, cu dobândă compusă lunară. Se presupune că un an are 12 luni și dobânda lunară este rata anuală împărțită la 12.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
a) Pentru triplarea sumei: S=S0(1+r)nS = S_0(1 + r)^n, cu S=30000S = 30000, S0=10000S_0 = 10000, n=15n = 15. Ecuația: 30000=10000(1+r)15⇒3=(1+r)1530000 = 10000(1 + r)^{15} \Rightarrow 3 = (1 + r)^{15}. Aplicăm logaritmi: ln⁡3=15ln⁡(1+r)⇒ln⁡(1+r)=ln⁡315≈1.098615=0.07324⇒1+r=e0.07324≈1.076⇒r≈0.076\ln 3 = 15 \ln(1 + r) \Rightarrow \ln(1 + r) = \frac{\ln 3}{15} \approx \frac{1.0986}{15} = 0.07324 \Rightarrow 1 + r = e^{0.07324} \approx 1.076 \Rightarrow r \approx 0.076 sau 7.6%.
23 puncte
b) Suma inițială cu dobândă compusă anuală: S1=10000(1+0.08)10≈10000⋅2.1589=21589S_1 = 10000(1 + 0.08)^{10} \approx 10000 \cdot 2.1589 = 21589 euro.
33 puncte
Calculul depunerilor lunare: Rata lunară rm=0.0812≈0.006667r_m = \frac{0.08}{12} \approx 0.006667. Depuneri la începutul lunii formează o serie de plăți anticipate. Suma acumulată: S2=100⋅(1+rm)120−1rm⋅(1+rm)≈100⋅(1.006667)120−10.006667⋅1.006667S_2 = 100 \cdot \frac{(1 + r_m)^{120} - 1}{r_m} \cdot (1 + r_m) \approx 100 \cdot \frac{(1.006667)^{120} - 1}{0.006667} \cdot 1.006667. Calcul: (1.006667)120≈e0.006667⋅120≈e0.8≈2.2255(1.006667)^{120} \approx e^{0.006667 \cdot 120} \approx e^{0.8} \approx 2.2255, deci S2≈100⋅1.22550.006667⋅1.006667≈100⋅183.86⋅1.006667≈18500S_2 \approx 100 \cdot \frac{1.2255}{0.006667} \cdot 1.006667 \approx 100 \cdot 183.86 \cdot 1.006667 \approx 18500 euro.
41 punct
Suma totală: Stotal=S1+S2≈21589+18500=40089S_{total} = S_1 + S_2 \approx 21589 + 18500 = 40089 euro. Interpretare: Rata de 7.6% este necesară pentru triplare în 15 ani; cu depuneri lunare, suma depășește 40.000 euro după 10 ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.