MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100 (mii de lei), iar prețul de vânzare este p(x)=60−0.5xp(x) = 60 - 0.5x (mii de lei pe unitate). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

11 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=x⋅p(x)=x(60−0.5x)=60x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(60 - 0.5x) = 60x - 0.5x^2. Astfel, P(x)=(60x−0.5x2)−(0.1x3−3x2+30x+100)=−0.1x3+2.5x2+30x−100P(x) = (60x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 2.5x^2 + 30x - 100.
23 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−0.3x2+5x+30P'(x) = -0.3x^2 + 5x + 30.
33 puncte
Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+5x+30=0⇒0.3x2−5x−30=0⇒3x2−50x−300=0⇒x=50±2500+36006=50±61006=50±10616-0.3x^2 + 5x + 30 = 0 \Rightarrow 0.3x^2 - 5x - 30 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 50x - 300 = 0 \Rightarrow x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 3600}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{6100}}{6} = \frac{50 \pm 10\sqrt{61}}{6}. Soluțiile sunt x1=50−10616≈−4.08x_1 = \frac{50 - 10\sqrt{61}}{6} \approx -4.08 (nu are sens economic) și x2=50+10616≈20.08x_2 = \frac{50 + 10\sqrt{61}}{6} \approx 20.08. Considerăm x=20x = 20 unități (număr întreg pentru aplicație practică).
42 puncte
Studiul semnului derivatei sau calculul derivatei a doua: P′′(x)=−0.6x+5P''(x) = -0.6x + 5. Pentru x=20x=20, P′′(20)=−0.6⋅20+5=−12+5=−7<0P''(20) = -0.6 \cdot 20 + 5 = -12 + 5 = -7 < 0, deci este punct de maxim.
51 punct
Calculul profitului maxim: P(20)=−0.1⋅203+2.5⋅202+30⋅20−100=−800+1000+600−100=700P(20) = -0.1 \cdot 20^3 + 2.5 \cdot 20^2 + 30 \cdot 20 - 100 = -800 + 1000 + 600 - 100 = 700 mii de lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.