MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Într-o economie simplă cu două sectoare, agricultură (A) și industrie (I), matricea de coeficienți tehnologici este A=(0.30.20.10.4)A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 \end{pmatrix}, unde aija_{ij} reprezintă proporția din producția sectorului jj necesară sectorului ii. Cererea finală este dată de vectorul D=(6090)D = \begin{pmatrix} 60 \\ 90 \end{pmatrix} (mii de tone). Determinați vectorul producției totale X=(x1x2)X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} care satisface ecuația Leontief X=AX+DX = AX + D. Calculați XX și verificați dacă producția este realizabilă economic, știind că fiecare sector are o capacitate maximă de producție de 150150 mii de tone.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Formularea ecuației matriceale: (I−A)X=D(I - A)X = D, unde I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} este matricea identitate.
24 puncte
Calculul matricei (I−A)=(0.7−0.2−0.10.6)(I - A) = \begin{pmatrix} 0.7 & -0.2 \\ -0.1 & 0.6 \end{pmatrix} și a inversei sale (I−A)−1=10.4(0.60.20.10.7)(I - A)^{-1} = \frac{1}{0.4} \begin{pmatrix} 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.7 \end{pmatrix}.
33 puncte
Rezolvarea pentru XX: X=(I−A)−1D=(100120)X = (I - A)^{-1}D = \begin{pmatrix} 100 \\ 120 \end{pmatrix}.
41 punct
Interpretarea rezultatului și verificarea realizabilității: x1=100≤150x_1 = 100 \leq 150, x2=120≤150x_2 = 120 \leq 150, deci producția este fezabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.