MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un bun. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, unde xx este cantitatea produsă în unități. Venitul total este V(x)=50x−0.5x2V(x) = 50x - 0.5x^2. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Definiți profitul ca P(x)=V(x)−C(x)P(x) = V(x) - C(x).
22 puncte
Calculați P(x)=(50x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+15x+100)=−0.1x3+1.5x2+35x−100P(x) = (50x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 100.
31 punct
Găsiți derivata întâi: P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35.
42 puncte
Rezolvați P′(x)=0P'(x) = 0: −0.3x2+3x+35=0⇒3x2−30x−350=0-0.3x^2 + 3x + 35 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 30x - 350 = 0 (înmulțind cu -10).
52 puncte
Calculați discriminantul: Δ=900+4200=5100\Delta = 900 + 4200 = 5100, deci x=30±51006=30±10516=5±5513x = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{51}}{6} = 5 \pm \frac{5\sqrt{51}}{3}. Selecționați soluția pozitivă care maximizează profitul, de exemplu x=5+5513x = 5 + \frac{5\sqrt{51}}{3}.
61 punct
Verificați că derivata a doua P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3 este negativă pentru acest xx pentru a confirma maximul.
71 punct
Calculați profitul maxim înlocuind xx în P(x)P(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.