MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorDerivate
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+10C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10 (în mii de lei). Firma vinde produsul la prețul p(x)=15−0.5xp(x) = 15 - 0.5x (în mii de lei pe unitate). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim funcția profit P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=p(x)⋅x=(15−0.5x)x=15x−0.5x2R(x) = p(x) \cdot x = (15 - 0.5x)x = 15x - 0.5x^2. Atunci P(x)=(15x−0.5x2)−(0.1x3−1.5x2+9x+10)=−0.1x3+x2+6x−10P(x) = (15x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10) = -0.1x^3 + x^2 + 6x - 10.
23 puncte
Calculăm derivata P′(x)=−0.3x2+2x+6P'(x) = -0.3x^2 + 2x + 6 și o egalăm cu zero: −0.3x2+2x+6=0-0.3x^2 + 2x + 6 = 0. Multiplicăm cu 10: −3x2+20x+60=0-3x^2 + 20x + 60 = 0, deci 3x2−20x−60=03x^2 - 20x - 60 = 0. Soluțiile sunt x=20±400+7206=20±11206=10±2703x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 720}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{1120}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{70}}{3}.
33 puncte
Analizăm semnul derivatei a doua P′′(x)=−0.6x+2P''(x) = -0.6x + 2. Pentru x=10−2703x = \frac{10 - 2\sqrt{70}}{3}, P′′(x)>0P''(x) > 0 (minim local), iar pentru x=10+2703x = \frac{10 + 2\sqrt{70}}{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0 (maxim local). Considerăm x=10+2703x = \frac{10 + 2\sqrt{70}}{3} ca punct de maxim.
42 puncte
Calculăm profitul maxim: Pmax=−0.1(10+2703)3+(10+2703)2+6(10+2703)−10P_{max} = -0.1 \left( \frac{10 + 2\sqrt{70}}{3} \right)^3 + \left( \frac{10 + 2\sqrt{70}}{3} \right)^2 + 6 \left( \frac{10 + 2\sqrt{70}}{3} \right) - 10 (se poate lăsa în formă algebrică).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.