MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.1xp(x) = 50 - 0.1x euro. Să se determine cantitatea xx care maximizează profitul companiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Funcția profit este P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.1x)−(0.01x3−0.6x2+13x+100)P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - 0.1x) - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100).
22 puncte
Simplificând, P(x)=−0.01x3+0.5x2+37x−100P(x) = -0.01x^3 + 0.5x^2 + 37x - 100.
33 puncte
Derivata: P′(x)=−0.03x2+x+37P'(x) = -0.03x^2 + x + 37. Rezolvând P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.03x2+x+37=0-0.03x^2 + x + 37 = 0 sau 3x2−100x−3700=03x^2 - 100x - 3700 = 0.
42 puncte
Discriminantul este Δ=10000+44400=54400\Delta = 10000 + 44400 = 54400, deci x=100±544006=100±40346x = \frac{100 \pm \sqrt{54400}}{6} = \frac{100 \pm 40\sqrt{34}}{6}. Se ia soluția pozitivă x=50+20343≈49,8x = \frac{50 + 20\sqrt{34}}{3} \approx 49,8.
51 punct
Derivata a doua este P′′(x)=−0.06x+1P''(x) = -0.06x + 1. Pentru x≈49,8x \approx 49,8, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este un maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.