MediuMatematică aplicatăClasa 9

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Pentru a determina înălțimea unui turn, un topograf măsoară unghiul de elevație față de vârful turnului de la două puncte A și B, aflate pe aceeași linie orizontală cu baza turnului. Din punctul A, unghiul este de 30∘30^\circ, iar din punctul B, aflat la 50 de metri mai departe de turn decât A, unghiul este de 45∘45^\circ. Calculați înălțimea turnului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Reprezentați situația geometric: fie hh înălțimea turnului, xx distanța de la punctul A la baza turnului. Atunci, distanța de la punctul B la baza turnului este x+50x + 50 metri.
23 puncte
Scrieți ecuațiile trigonometrice folosind funcția tangentă: tan⁡(30∘)=hx\tan(30^\circ) = \frac{h}{x} și tan⁡(45∘)=hx+50\tan(45^\circ) = \frac{h}{x+50}. Cunoscând tan⁡(30∘)=13\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} și tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1.
33 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații: din tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ)=1, obțineți h=x+50h = x+50. Substituiți în prima ecuație: 13=x+50x\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x+50}{x}. Rezolvați pentru xx: x=5033−1x = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}. Apoi calculați h=x+50=5033−1+50=50(3+1)3−1h = x+50 = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} + 50 = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1}.
42 puncte
Simplificați expresia pentru hh: h=50(3+1)3−1⋅3+13+1=50(3+1)22=25(4+23)=50(2+3)h = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{50(\sqrt{3}+1)^2}{2} = 25(4+2\sqrt{3}) = 50(2+\sqrt{3}) metri. Ofereți răspunsul exact: h=50(2+3)h = 50(2+\sqrt{3}) metri sau aproximați numeric dacă este necesar.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.