MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100, unde xx este numărul de unități produse (cu x≥0x \geq 0). Prețul de vânzare pe unitate este de 50 de lei. Să se determine cantitatea xx care maximizează profitul firmei și profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea funcției profitului: P(x)=R(x)−C(x)P(x) = R(x) - C(x), unde R(x)=50xR(x)=50x este venitul total. Deci, P(x)=50x−(0.1x3−2x2+15x+100)=−0.1x3+2x2+35x−100P(x) = 50x - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 100) = -0.1x^3 + 2x^2 + 35x - 100.
23 puncte
Calculul derivatei: P′(x)=−0.3x2+4x+35P'(x) = -0.3x^2 + 4x + 35. Rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x)=0: −0.3x2+4x+35=0-0.3x^2 + 4x + 35 = 0 sau 0.3x2−4x−35=00.3x^2 - 4x - 35=0. Discriminantul: Δ=16+42=58\Delta = 16 + 42 = 58, soluțiile x1,2=4±580.6x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{58}}{0.6}. Se obține x1≈21.08x_1 \approx 21.08 și x2≈−5.41x_2 \approx -5.41. Se consideră x≈21.08x \approx 21.08 (doar soluția pozitivă).
33 puncte
Studiul semnului derivatei: pentru x<21.08x < 21.08, P′(x)>0P'(x) > 0 (funcția crescătoare), pentru x>21.08x > 21.08, P′(x)<0P'(x) < 0 (funcția descrescătoare), deci x≈21.08x \approx 21.08 este punct de maxim. Cum xx este număr de unități, se poate considera x=21x=21 pentru aplicație practică.
42 puncte
Calculul profitului maxim: P(21)=−0.1⋅213+2⋅212+35⋅21−100≈−926.1+882+735−100=590.9P(21) = -0.1 \cdot 21^3 + 2 \cdot 21^2 + 35 \cdot 21 - 100 \approx -926.1 + 882 + 735 - 100 = 590.9 lei. Interpretarea: producția optimă este de aproximativ 21 unități, cu profit maxim de circa 590.9 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.