MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu costul total dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x. Să se determine funcția profitului P(x)P(x). Apoi, să se găsească numărul de unități xx care maximizează profitul și să se calculeze profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Funcția veniturilor este R(x)=x⋅p(x)=x(200−0.5x)=200x−0.5x2R(x) = x \cdot p(x) = x(200 - 0.5x) = 200x - 0.5x^2. Profitul este P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+50x+1000)=−0.6x2+150x−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = -0.6x^2 + 150x - 1000.
24 puncte
Se calculează derivata: P′(x)=−1.2x+150P'(x) = -1.2x + 150. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0, adică −1.2x+150=0-1.2x + 150 = 0, de unde x=1501.2=125x = \frac{150}{1.2} = 125.
32 puncte
Se verifică derivata a doua: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci x=125x=125 este punct de maxim.
41 punct
Profitul maxim este P(125)=−0.6(125)2+150(125)−1000P(125) = -0.6(125)^2 + 150(125) - 1000. Se calculează: P(125)=−0.6⋅15625+18750−1000=−9375+18750−1000=8375P(125) = -0.6 \cdot 15625 + 18750 - 1000 = -9375 + 18750 - 1000 = 8375.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.