MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un bun cu funcția cost total C(x)=0.01x3−1.2x2+50x+1000C(x) = 0.01x^3 - 1.2x^2 + 50x + 1000, unde xx este cantitatea produsă în unități. Funcția de venit este V(x)=200x−0.5x2V(x) = 200x - 0.5x^2. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem funcția profit: P(x)=V(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.01x3−1.2x2+50x+1000)=−0.01x3+0.7x2+150x−1000P(x) = V(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.01x^3 - 1.2x^2 + 50x + 1000) = -0.01x^3 + 0.7x^2 + 150x - 1000.
24 puncte
Derivăm: P′(x)=−0.03x2+1.4x+150P'(x) = -0.03x^2 + 1.4x + 150. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0: −0.03x2+1.4x+150=0-0.03x^2 + 1.4x + 150 = 0 sau 3x2−140x−15000=03x^2 - 140x - 15000 = 0. Discriminantul: Δ=19600+180000=199600\Delta = 19600 + 180000 = 199600, deci x1,2=140±1996006x_{1,2} = \frac{140 \pm \sqrt{199600}}{6}. 199600=400⋅499=20499≈446.6\sqrt{199600} = \sqrt{400 \cdot 499} = 20\sqrt{499} \approx 446.6, deci x1≈140+446.66≈97.77x_1 \approx \frac{140 + 446.6}{6} \approx 97.77 și x2≈140−446.66≈−51.1x_2 \approx \frac{140 - 446.6}{6} \approx -51.1 (negativ, neacceptabil).
32 puncte
Derivata a doua: P′′(x)=−0.06x+1.4P''(x) = -0.06x + 1.4. Pentru x≈97.77x \approx 97.77, P′′(97.77)≈−0.06⋅97.77+1.4≈−5.87+1.4=−4.47<0P''(97.77) \approx -0.06 \cdot 97.77 + 1.4 \approx -5.87 + 1.4 = -4.47 < 0, deci este maxim.
42 puncte
Profitul maxim: P(97.77)≈−0.01⋅(97.77)3+0.7⋅(97.77)2+150⋅97.77−1000≈−9350+6690+14665.5−1000≈11005.5P(97.77) \approx -0.01 \cdot (97.77)^3 + 0.7 \cdot (97.77)^2 + 150 \cdot 97.77 - 1000 \approx -9350 + 6690 + 14665.5 - 1000 \approx 11005.5 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.