MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.5x2+20x+300C(x) = 0.01x^3 - 0.5x^2 + 20x + 300. Prețul de vânzare pe unitate este dat de funcția p(x)=100−xp(x) = 100 - x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Funcția venitului este R(x)=x⋅p(x)=100x−x2R(x) = x \cdot p(x) = 100x - x^2. Profitul este P(x)=R(x)−C(x)=(100x−x2)−(0.01x3−0.5x2+20x+300)=−0.01x3−0.5x2+80x−300P(x) = R(x) - C(x) = (100x - x^2) - (0.01x^3 - 0.5x^2 + 20x + 300) = -0.01x^3 - 0.5x^2 + 80x - 300.
23 puncte
Derivata funcției profitului: P′(x)=−0.03x2−x+80P'(x) = -0.03x^2 - x + 80. Se rezolvă ecuația P′(x)=0P'(x) = 0: −0.03x2−x+80=0-0.03x^2 - x + 80 = 0, echivalent cu 3x2+100x−8000=03x^2 + 100x - 8000 = 0. Discriminantul Δ=10000+96000=106000\Delta = 10000 + 96000 = 106000, deci x=−100±1060006x = \frac{-100 \pm \sqrt{106000}}{6}. Se consideră soluția pozitivă: x≈225.966≈37.66x \approx \frac{225.96}{6} \approx 37.66.
32 puncte
Se verifică că este maxim: derivata a doua P′′(x)=−0.06x−1P''(x) = -0.06x - 1. Pentru x≈37.66x \approx 37.66, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci punctul este de maxim.
42 puncte
Profitul maxim se calculează înlocuind x≈37.66x \approx 37.66 în P(x)P(x): P(37.66)≈−0.01(37.66)3−0.5(37.66)2+80⋅37.66−300≈1204.68P(37.66) \approx -0.01(37.66)^3 - 0.5(37.66)^2 + 80 \cdot 37.66 - 300 \approx 1204.68 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.