MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăProgresii GeometriceLogaritmi
O persoană contractează un împrumut de 10.00010.000 euro cu dobândă compusă anuală de 8%8\%. Ea plătește la sfârșitul fiecărui an o rată constantă de 1.5001.500 euro. Determinați după câți ani împrumutul va fi achitat complet. (Utilizați logaritmi pentru calcul.)

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notați suma inițială S0=10000S_0 = 10000, rata dobânzii r=0.08r = 0.08, și plata anuală P=1500P = 1500. Scrieți recurența Sn=Sn−1(1+r)−PS_n = S_{n-1}(1+r) - P pentru soldul după nn ani, cu S0=10000S_0 = 10000.
23 puncte
Exprimați soldul după nn ani folosind suma progresiei geometrice: Sn=S0(1+r)n−P⋅(1+r)n−1rS_n = S_0(1+r)^n - P \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}.
32 puncte
Setați condiția Sn=0S_n = 0 pentru achitare și obțineți ecuația: 10000(1.08)n=1500⋅(1.08)n−10.0810000(1.08)^n = 1500 \cdot \frac{(1.08)^n - 1}{0.08}.
42 puncte
Simplificați ecuația la 1.08n=321.08^n = \frac{3}{2} și aplicați logaritmi: n=ln⁡(3/2)ln⁡(1.08)n = \frac{\ln(3/2)}{\ln(1.08)}.
51 punct
Calculați numeric (aproximativ n≈5.27n \approx 5.27) și interpretați: împrumutul se achită după 66 ani (plata finală este parțială).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.