MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs. Funcția costului total este C(x)=0.1x3−2x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse ( x≥0x \geq 0 ). Prețul de vânzare pe unitate este funcție de cantitatea vândută: p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Se cere: a) Să se determine funcția profitului P(x)P(x). b) Să se afle cantitatea xx care maximizează profitul (valoarea exactă) și profitul maxim (rotunjit la două zecimale).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției profitului: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.5x)−(0.1x3−2x2+30x+100)=−0.1x3+1.5x2+20x−100P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - 0.5x) - (0.1x^3 - 2x^2 + 30x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 20x - 100.
23 puncte
Derivarea funcției profit: P′(x)=−0.3x2+3x+20P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 20. Găsirea punctelor critice: rezolvăm P′(x)=0P'(x) = 0, adică −0.3x2+3x+20=0-0.3x^2 + 3x + 20 = 0, echivalent cu 0.3x2−3x−20=00.3x^2 - 3x - 20 = 0. Înmulțim cu 10: 3x2−30x−200=03x^2 - 30x - 200 = 0. Discriminant: Δ=900+2400=3300\Delta = 900 + 2400 = 3300. Soluțiile: x=30±33006=30±10336=15±5333x = \frac{30 \pm \sqrt{3300}}{6} = \frac{30 \pm 10\sqrt{33}}{6} = \frac{15 \pm 5\sqrt{33}}{3}. Deoarece x≥0x \geq 0, avem x0=15+5333x_0 = \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} (valoarea exactă).
33 puncte
Verificarea că x0x_0 este punct de maxim: calculăm derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x0x_0, P′′(x0)=−0.6⋅15+5333+3=−0.2(15+533)+3=−3−33+3=−33<0P''(x_0) = -0.6 \cdot \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} + 3 = -0.2(15 + 5\sqrt{33}) + 3 = -3 - \sqrt{33} + 3 = -\sqrt{33} < 0, deci este maxim.
42 puncte
Calculul profitului maxim: P(x0)=−0.1(15+5333)3+1.5(15+5333)2+20(15+5333)−100P(x_0) = -0.1 \left( \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} \right)^3 + 1.5 \left( \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} \right)^2 + 20 \left( \frac{15 + 5\sqrt{33}}{3} \right) - 100. Aproximăm: x0≈14.57x_0 \approx 14.57. Atunci P(x0)≈−0.1(14.57)3+1.5(14.57)2+20(14.57)−100≈−309.25+318.43+291.4−100=200.58P(x_0) \approx -0.1(14.57)^3 + 1.5(14.57)^2 + 20(14.57) - 100 \approx -309.25 + 318.43 + 291.4 - 100 = 200.58. Deci profitul maxim este aproximativ 200.58 unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.