MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorArii și volume
Un container cilindric trebuie să aibă volumul de 1 m³. Costul materialului pentru baza și capacul este de 10 lei/m², iar pentru suprafața laterală de 8 lei/m². Determinați raza și înălțimea cilindrului care minimizează costul total.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți funcția cost total: C(r,h)=2⋅10⋅πr2+8⋅2πrh=20πr2+16πrhC(r,h) = 2 \cdot 10 \cdot \pi r^2 + 8 \cdot 2\pi r h = 20\pi r^2 + 16\pi r h, unde r este raza și h înălțimea.
22 puncte
Folosiți volumul V=πr2h=1V = \pi r^2 h = 1 pentru a exprima h în funcție de r: h=1πr2h = \frac{1}{\pi r^2}.
33 puncte
Înlocuiți h în funcția cost: C(r)=20πr2+16πr⋅1πr2=20πr2+16rC(r) = 20\pi r^2 + 16\pi r \cdot \frac{1}{\pi r^2} = 20\pi r^2 + \frac{16}{r}.
42 puncte
Derivați C(r)C(r) și găsiți punctul critic: C′(r)=40πr−16r2=0C'(r) = 40\pi r - \frac{16}{r^2} = 0, deci r3=1640π=25πr^3 = \frac{16}{40\pi} = \frac{2}{5\pi}, r=25π3r = \sqrt[3]{\frac{2}{5\pi}}. Apoi calculați h din h=1πr2h = \frac{1}{\pi r^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.