MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un articol. Funcția cost total este dată de C(x)=0.1x3−2x2+50x+100C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 50x + 100, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Funcția venit total este V(x)=80x−0.5x2V(x) = 80x - 0.5x^2. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrie funcția profit P(x)=V(x)−C(x)=(80x−0.5x2)−(0.1x3−2x2+50x+100)=−0.1x3+1.5x2+30x−100P(x) = V(x) - C(x) = (80x - 0.5x^2) - (0.1x^3 - 2x^2 + 50x + 100) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 30x - 100.
23 puncte
Calculează derivata P′(x)=−0.3x2+3x+30P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 30 și rezolvă ecuația P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.3x2+3x+30=0-0.3x^2 + 3x + 30 = 0, echivalent cu x2−10x−100=0x^2 - 10x - 100 = 0. Soluțiile sunt x1,2=10±100+4002=10±1052=5±55x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100+400}}{2} = \frac{10 \pm 10\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{5}. Deoarece x>0x>0, considerăm x=5+55x = 5 + 5\sqrt{5}.
33 puncte
Calculează derivata a doua P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x=5+55x = 5 + 5\sqrt{5}, P′′(x)=−0.6(5+55)+3=−3−35+3=−35<0P''(x) = -0.6(5 + 5\sqrt{5}) + 3 = -3 - 3\sqrt{5} + 3 = -3\sqrt{5} < 0, deci funcția are un maxim local.
42 puncte
Calculează profitul maxim: P(5+55)=−0.1(5+55)3+1.5(5+55)2+30(5+55)−100P(5 + 5\sqrt{5}) = -0.1(5 + 5\sqrt{5})^3 + 1.5(5 + 5\sqrt{5})^2 + 30(5 + 5\sqrt{5}) - 100. Simplificând, se obține profitul maxim aproximativ Pmax≈196.82P_{max} \approx 196.82 (sau exact în formă algebrică, dacă se dorește).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.