MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Un producător estimează că costul total de producție pentru xx unități ale unui produs este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100, măsurat în lei. Determinați numărul de unități care minimizează costul marginal și calculați costul total minim. Apoi, analizați variația costului mediu pe unitate, C‾(x)=C(x)/x\overline{C}(x) = C(x)/x, pentru x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Costul marginal este derivata costului total: C′(x)=0.03x2−1.2x+13C'(x) = 0.03x^2 - 1.2x + 13. Pentru a minimiza costul marginal, se anulează derivata lui C′(x)C'(x): C′′(x)=0.06x−1.2C''(x) = 0.06x - 1.2. Se rezolvă C′′(x)=0C''(x) = 0: 0.06x−1.2=0⇒x=200.06x - 1.2 = 0 \Rightarrow x = 20. Verifică semnul derivatei a doua: C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>20x > 20, deci x=20x = 20 este punct de minim pentru costul marginal.
23 puncte
Costul total minim se calculează înlocuind x=20x = 20 în C(x)C(x): C(20)=0.01⋅203−0.6⋅202+13⋅20+100=80−240+260+100=200C(20) = 0.01 \cdot 20^3 - 0.6 \cdot 20^2 + 13 \cdot 20 + 100 = 80 - 240 + 260 + 100 = 200 lei.
33 puncte
Analizează costul mediu: C‾(x)=0.01x2−0.6x+13+100/x\overline{C}(x) = 0.01x^2 - 0.6x + 13 + 100/x. Se studiază derivata sa sau se observă comportamentul asimptotic pentru variație, de exemplu, C‾(x)→∞\overline{C}(x) \to \infty când x→0+x \to 0^+ și C‾(x)→∞\overline{C}(x) \to \infty când x→∞x \to \infty, cu un minim în intervalul finit (se poate menționa că analiza completă necesită derivate superioare, dar se cer observații calitative).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.